Dimensão Fracionária? Dimensão Fractal!!

A noção de dimensão está ligada usualmente a dois aspectos principais, a noção métrica

(10 cm por exemplo) e a quantidade de informações para se localizar um ponto no espaço-tempo (as coordenadas espaciais X,Y,Z e o tempo t por exemplo). Existem diversos conceitos para se definir uma dimensão fractal, iniciaremos pela definição de capacidade, definida por Kolmogorov. Essa definição considera o quanto um objeto ou conjunto pode ocupar o espaço em que está inserido, sendo a mais simples definição da dimensão fracionária, é também chamada de dimensão fractal. Pode-se defini-la matematicamente por 

dcap = lim_{ε→ 0}  {[log N(ε)]/log(1/ ε)}

onde N(ε) é o número mínimo de cubos elementares necessários para cobrir o conjunto considerado e ε é a dimensão linear do cubo elementar.

 Vejamos o processo de construção do conjunto de Cantor.

 O conjunto de Cantor é construído da seguinte maneira: tomamos um segmento de reta e o partimos em três segmentos iguais. Em seguida, o terço médio é retirado. Os dois segmentos restantes são de novo repartidos em três segmentos iguais e os terços médios são novamente são retirados. O processo de repartir os segmentos e de retirar o pedaço intermediário prossegue ad infinitum. O Conjunto de Cantor é o conjunto de pontos restantes, após infinitas operações terem sido realizadas.

A capacidade, ou dimensão fractal, desse conjunto, como pode ser inferido diretamente da Figura 25, vale: d_cap = log(2)/log(3) ≈ 0,6. Isto porque, em cada etapa do processo de construção do conjunto, utilizamos dois segmentos (cubos elementares) para cobrir a figura, sendo que cada segmento elementar tinha comprimento de 113. Observe-se que esse conjunto tem comprimento zero, porque, a cada etapa do processo, seu comprimento é reduzido por um fator 2/3. Logo, seu comprimento, no limite em que n → ∞, será L = (2/3)ⁿ → 0.

Este conjunto está localizado nos primórdios da geometria fractal, atualmente belíssimas imagens são virtualmente construídas através de diferentes processos.